Analisi matematica I (2009/2010)

Codice insegnamento
4S00030
Crediti
12
Coordinatore
Gaetano Zampieri
Settore disciplinare
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
Lingua di erogazione
Italiano
L'insegnamento è organizzato come segue:
Attività Crediti Periodo Docenti
Teoria 9 I semestre Sisto Baldo
Gaetano Zampieri
Esercitazioni 3 I semestre Alberto Benvegnu'

Orario lezioni

I semestre
Attività Giorno Ora Tipo Luogo Note
Teoria lunedì 9.30 - 11.30 lezione Aula E  
Teoria mercoledì 11.30 - 13.30 lezione Aula E  
Teoria giovedì 9.30 - 11.30 lezione Aula E  
Teoria venerdì 10.30 - 13.30 lezione Aula E  

Obiettivi formativi

Nel corso vengono introdotti i concetti e le tecniche del calcolo differenziale ed integrale, enfatizzandone gli aspetti metodologico-applicativi rispetto agli elementi logico-formali, con l'obiettivo di fornire gli strumenti di base per affrontare le problematiche scientifiche formalizzabili nel linguaggio della matematica del continuo.

Proprietà dei numeri reali. Successioni e serie numeriche. Limiti. Funzioni continue. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Calcolo integrale per funzioni di una variabile reale. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie.

Programma

(i) Prerequisiti. Elementi di geometria analitica (equazioni di retta, parabola, circonferenza, ellisse, iperbole). Disequazioni di 2° grado. Regola di Ruffini. Binomio di Newton. Funzioni trigonometriche, esponenziale, logaritmo. Numeri naturali, principio di induzione. Numeri interi, razionali. Il sistema dei numeri reali: assioma di Dedekind, principio di Archimede, estremo superiore ed inferiore. Valore assoluto, disuguaglianza triangolare.

(ii) Successioni e serie numeriche. Limite di una successione. Convergenza delle successioni monotone e limitate. Successioni definite per ricorrenza. Il numero e . Teorema della permanenza del segno, teorema dei due Carabinieri. Operazioni con i limiti, forme indeterminate. La funzione esponenziale, logaritmo. Funzioni trigonometriche, coordinate polari, formule di Eulero. Serie numeriche. Convergenza della serie geometrica. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: condizioni necessarie, criterio del confronto, del confronto asintotico, di condensazione, del rapporto, della radice. Criterio di convergenza assoluta. Criterio di convergenza di Leibnitz. Convergenza delle serie di potenze.

(iii) Continuità delle funzioni di una variabile. Sottoinsiemi di R: intervalli aperti, chiusi. Punti di accumulazione. Limite di funzioni reali. Limiti notevoli. Nozione di o ("o" piccolo). Funzioni continue. Funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri, teorema di Bolzano-Weierstrass. Conseguenze del teorema degli zeri: teorema dei valori intermedi (l'immagine continua di un intervallo è un intervallo), le funzioni continue invertibili sono monotone, continuità della funzione inversa.

(iv) Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Derivata di una funzione in un punto, significato geometrico, fisico. Continuità di una funzione derivabile. Derivate successive. Derivate delle funzioni elementari. Principali regole di derivazione. Tassi di crescita relativi e problemi applicati. Principio di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (del valor medio) e prime conseguenze. Problemi applicati di massimo e minimo. Regola di de l'Hôpital e applicazioni. Formula di Taylor, resto in forma di Peano e di Lagrange. Sviluppo di Taylor delle funzioni elementari, applicazioni al calcolo dei limiti e allo studio qualitativo del grafico di una funzione. Serie di Taylor, funzioni analitiche. Teorema di derivazione (e integrazione) termine a termine per serie di potenze.

(v) Calcolo integrale per funzioni di una variabile. Il problema inverso della derivazione, integrale indefinito. Il problema delle aree, integrale definito: definizione e proprietà dell'integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione: per sostituzione, per parti. Integrazione delle funzioni elementari. Applicazioni al calcolo di lunghezze, aree, volumi. Convergenza degli integrali impropri: criterio del confronto, criterio di integrabilità assoluta. Criterio integrale di convergenza per una serie numerica a termini positivi.

(vi) Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Equazione lineare del primo ordine. Equazione lineare del secondo ordine, Wronskiano e metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Oscillazioni forzate, battimenti, risonanza, frequenza di risonanza con smorzamento. Equazione scalare autonoma, problemi di Cauchy con o senza unicita'. Equazioni a variabili separabili.

(vii) Topologia della retta e della retta estesa. Chiusura e successioni in R. Compattezza per successioni in R.

Modalità d'esame

L'esame finale consiste in una prova scritta comprendente una serie di esercizi da risolvere, seguita, in caso di esito positivo, da una prova orale.

Statistiche per i requisiti di trasparenza (Attuazione Art. 2 del D.M. 31/10/2007, n. 544)

Statistiche esiti
Esiti Esami Esiti Percentuali Media voti Deviazione Standard
Positivi 47.25% 23 3
Respinti --
Assenti 52.74%
Ritirati --
Annullati --
Distribuzione degli esiti positivi
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 30 e Lode
4.6% 18.6% 13.9% 2.3% 2.3% 11.6% 9.3% 9.3% 4.6% 6.9% 11.6% 0.0% 4.6% 0.0%

Valori relativi all'AA 2009/2010 calcolati su un totale di 91 iscritti. I valori in percentuale sono arrotondati al numero intero più vicino.