Sistemi dinamici (2006/2007)

Obiettivi formativi

Il corso tratta vari aspetti dell’analisi qualitativa delle equazioni
differenziali ordinarie e introduce alla teoria dei sistemi dinamici
continui e discreti. In particolare vengono esposti i concetti base di
equilibrio, orbita periodica, orbita omoclinica, ciclo limite,
omega-limite, invarianza, coniugazione ed equivalenza topologica, dipendenza sensibile
dai dati iniziali, espansivita' e transitivita' topologica.
Vengono studiati alcuni esempi
notevoli fra cui il pesce, le rotazioni sul circolo, il moto quasi periodico sul toro,
le mappe espansive sul circolo e la mappa del gatto di Arnold.
L’allieva/o dovra’ conoscere con una certa profondita’ gli argomenti in
programma sia dal punto di vista teorico che sapendo trattare esempi.

01. ESISTENZA E UNICITA'. Campi di vettori, problema di Cauchy, enunciato del teorema di Peano, equazione scalare di ordine n, campi vettoriali in dimensione 1, esempi,
esempio senza unicita', equazioni che non sono ordinarie,
enunciato del teorema di Cauchy-Lipschitz.


02. DINAMICA LINEARE. Esponenziale di matrici, convergenza, soluzione dei problemi lineari,
esponenziale e: matrici che commutano, similitudini, trasposizione, inversa. Classificazione in dimensione 1 e 2. In dimensione n: matrici semisemplici e nilpotenti e loro esponenziali, enunciato della decomposizione fondamentale, esempi.


03. FONDAMENTI DI TEORIE QUALITATIVE. Campi vettoriali limitati e completi, esistenza globale
per soluzioni in compatti, campi vettoriali con le stesse orbite e completezza, enunciato del teorema del flusso locale, flusso globale, sistemi dinamici continui e discreti, punti fissi, orbite regolari e periodiche. Esempi di dinamica discreta lineare. Il pesce, orbite omocliniche e centri.


04. INVARIANZA. INSIEMI LIMITE. Insiemi invarianti, alfa e omega limiti, teorema sull'omega limite, esempi vari.


05. CONIUGAZIONI. Cambi di variabili e campi vettoriali e flussi, teorema della scatola di flusso, esempio di cambio di variabile non-lineare, coniugazione differenziale e topologica, equivalenza topologica e sue proprieta'. Esempi.



06. SOTTOGRUPPI DI (R,+). PERIODI. Classificazione dei sottogruppi di (R,+). Un sottogruppo denso di interesse dinamico. Periodi di una funzione continua.


07. ROTAZIONI. Rotazioni sul circolo. Il toro unidimensionale e proiezione sul circolo. Teoremi di classificazione delle orbite. Un'applicazione alla teoria dei numeri.


08. MOTO QUASI-PERIODICO SUL TORO. Il toro bidimensionale come sottospazio delo spazio 3-dimensionale e come prodotto. Sistema dinamico continuo sul toro definito dal campo vettoriale costante sul piano: periodicita' delle orbite se il rapporto delle componenti del campo e' razionale e densita' delle orbite se e' irrazionale. Oscillatori armonici disaccoppiati. Un esempio con un toro come attrattore globale.



09. MAPPE ESPANSIVE SUL CIRCOLO. Mappa 3x-mod 1. Esistenza di orbite positive periodiche di periodo qualunque e densita' dei punti alla fine periodici. Dipendenza sensibile dai dati iniziali ed espansivita'. Transitivita' topologica. Mappe espansive sul circolo. L'insieme ternario di Cantor caratterizzazione e proprieta'. Spazi di Cantor. Orbite dense sull'insieme ternario di Cantor per la mappa 3x-mod 1.



10. LA MAPPA DEL GATTO. Mappe continue sul toro e razionalita' dei loro punti fissi. Punti alla fine periodici. Teorema sul numero di anti-immagini di un punto e omeomorfismi del toro, senza dimostrazione. Numero di punti fissi. Iterate della mappa del gatto e numeri di Fibonacci. Numero di punti periodici e esistenza di orbite di periodo qualunque per la mappa del gatto.

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Tutte le dimostrazioni sono in programma salvo quelle indicate esplicitamente come facoltative.

L'esame finale consiste in una prova orale.