Analisi matematica II (2005/2006)

Corso a esaurimento

Orario lezioni

1° Q - 2° anno e successivi
Giorno Ora Tipo Luogo Note
martedì 12.30 - 13.30 lezione Aula A dal 11-ott-2005  al 2-dic-2005
mercoledì 8.30 - 10.30 lezione Aula E  
venerdì 8.30 - 10.30 lezione Aula E  

Obiettivi formativi

Nel corso vengono approfonditi i concetti del calcolo differenziale ed integrale introdotti nel corso di Analisi Matematica 1, con l'obiettivo di completare la preparazione di base nella materia, e fornire inoltre alcuni prerequisiti specifici indispensabili per il prosieguo del corso di studi.
Sintesi del programma:
Serie di potenze. Serie di Fourier. Spazi metrici. Equazioni differenziali ordinarie. Funzioni di più variabili reali. Integrali multipli.

Programma

* È disponibile il diario del corso aggiornato (in formato .pdf). Vale anche da programma d'esame.
* Prerequisiti. Si richiede la conoscenza del programma dei corsi di Analisi Matematica 1 ed Algebra Lineare.
* Serie di funzioni. Serie di potenze. Raggio di convergenza, sua caratterizzazione. Proprietà delle serie di potenze nell'intervallo di convergenza: derivabilità e integrabilità termine a termine. Funzioni analitiche, convergenza della serie di Taylor associata. Analiticità delle funzioni elementari. Convergenza puntuale ed uniforme, convergenza in media. Serie di Fourier: convergenza, diseguaglianza di Bessel, identità di Parseval.
* Spazi metrici. Funzione distanza. Definizione di spazio metrico. Palle. Distanza indotta da una norma su uno spazio vettoriale. Esempi notevoli di norme su R^n e su C^0([a,b]). Limiti di successioni in spazi metrici. Funzioni continue tra spazi metrici, esempi in R^n e in C^0([a,b]): funzione integrale, trasformata di Laplace, trasformata di Fourier. Successioni di Cauchy, spazi metrici completi. Completezza di R^n e di C^0([a,b]). Il principio delle contrazioni in uno spazio metrico completo.
* Equazioni differenziali. Il problema di Cauchy, problemi ben posti (esistenza, unicità, dipendenza continua dai dati iniziali). Teorema di Cauchy-Lipschitz di esistenza e unicità di soluzioni di problemi di Cauchy come applicazione del principio delle contrazioni. Integrazione di equazioni a variabili separabili. Integrazione dell' equazione di Bernoulli. Metodo della conservazione dell'energia per integrare y''=V'(y). Discussione qualitativa nello spazio delle fasi; soluzioni stazionarie, relazione con i punti critici di $V$. Equazioni differenziali lineari. Lo spazio vettoriale delle soluzioni dell'equazione omogenea, determinazione di una base nel caso a coefficienti costanti. Determinazione di una soluzione particolare dell'equazione non omogenea: metodo degli annichilatori, metodo della variazione dei parametri. Sistemi di n equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Particolari metodi di risoluzione: riducibilità ad un'equazione di ordine n; diagonalizzabilità del sistema omogeneo. Esponenziale di matrici. Discussione qualitativa nel piano delle fasi, stabilità delle soluzioni di equilibrio.
* Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Elementi di topologia di R^n. Continuità e teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili reali. Funzioni differenziabili. Continuità delle funzioni differenziabili. Derivate direzionali e parziali, rappresentazione del differenziale attraverso il gradiente. Teorema del differenziale totale. Ortogonalità del gradiente rispetto agli insiemi di livello, direzione di massima pendenza. Matrice Jacobiana. Funzioni a valori vettoriali, curve e superfici. Vettori tangenti ad una superficie parametrica in R^3 , vettore normale. Coordinate sferiche e cilindriche in R^3 . Derivate successive, teorema di Schwartz. Matrice Hessiana. Formula di Taylor, applicazione allo studio dei punti critici di una funzione regolare. Teorema delle funzioni implicite ed inverse. Derivate di funzioni implicite. Massimi e minimi vincolati, teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
* Integrali multipli, curvilinei, superficiali. Definizione di integrale di una funzione di più variabili definita su di un rettangolo o su un dominio compatto a frontiera regolare. Integrabilità delle funzioni continue, integrazione iterata, formula di cambiamento di variabili. Volume dei solidi di rotazione, teorema di Pappo. Definizione di integrale curvilineo e di superficie e loro significato fisico. Lunghezza di una curva, area di una superficie. Rotore e divergenza di un campo vettoriale. Forme differenziali esatte e chiuse, lemma di Poincaré. Teorema di Stokes per forme, e suoi corollari per campi di vettori: teorema di Gauss-Green nel piano, teorema della divergenza e teorema di Stokes classico.
* Complementi. Generalità sulle trasformate di Laplace e di Fourier.
Il corso prevede 40 ore di lezione frontale comprensive di esercitazioni.

Testi di riferimento
Autore Titolo Casa editrice Anno ISBN Note
Conti F. et al. Analisi Matematica, teoria e applicazioni McGraw-Hill, Milano 2001 8838660026
James Stewart Calcolo: funzioni di più variabili (Edizione 3) Apogeo 2002 8873037488

Modalità d'esame

L'esame finale consiste in una prova scritta comprendente una serie di esercizi, seguita, in caso di esito positivo, da una prova orale vertente sul programma e/o un seminario di approfondimento su una parte del programma. E' tuttavia possibile registrare direttamente quale voto d'esame l'inf tra la votazione riportata nella prova scritta e 26/30.

Materiale didattico

Documenti

Statistiche per i requisiti di trasparenza (Attuazione Art. 2 del D.M. 31/10/2007, n. 544)

Statistiche esiti
Esiti Esami Esiti Percentuali Media voti Deviazione Standard
Positivi 40.0% 22 2
Respinti --
Assenti 8.0%
Ritirati 12.0%
Annullati 40.0%
Distribuzione degli esiti positivi
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 30 e Lode
0.0% 10.0% 20.0% 30.0% 20.0% 10.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 10.0% 0.0% 0.0%

Valori relativi all'AA 2005/2006 calcolati su un totale di 25 iscritti. I valori in percentuale sono arrotondati al numero intero più vicino.