Metodi di viscosità e metrici per l'omogeneizzazione (GNAMPA 2009 ESTERNO)

Starting date
March 1, 2009
Duration (months)
12
Departments
Computer Science
Managers or local contacts
Marigonda Antonio

Il finanziamento del progetto è gestito dall'unità locale afferente al Dip. di Matematica dell'Università di Padova.

Le tematiche del progetto sono le seguenti:

1) Omogeneizzazione per Hamiltoniane non convesse e teoria
KAM debole.
Vi e' una discrasia, per Hamiltoniane non convesse,
tra i risultati di omogeneizzazione e l'analisi
dell’equazione critica. Per i primi la convessità non svolge
un ruolo particolare, mentre per la seconda e’ fondamentale.
Si tratta in particolare di capire se un insieme di Aubry
possa essere definito in ambito non convesso. Alcuni studi
di Ricerca GNAMPA - Anno 2008: anteprima modulo
http://gruppi.altamatematica.it/gnampa/p(Marigonda-Siconolfi) mostrano che tale insieme non può
essere caratterizzato in termini di degenerazione della
metrica intrinseca. Si pensa di studiare Hamiltoniane con
ipotesi di convessità opportunamente indebolite. Ad esempio
quella “unilaterale” introdotta da Barles e Souganidis in
un articolo sul comportamento asintotico di soluzioni di
equazioni periodiche evolutive, che e’ un problema connesso
a quello dell'omogeneizzazione. Un'altra direttiva di
studio è l'analisi di equazioni non convesse derivate da
modelli di teoria dei giochi e segnatamente di quelli a
somma nulla.
2) Omogeneizzazione con variabili veloci illimitate.
L’omogeneizzazione di equazioni di H-J periodiche è stata
ampiamente sceverata. Il caso in cui la variabile oscillante
è illimitata è ancora largamente aperto. Nel caso
stazionario ergodico i risultati di omogeneizzazione per
equazioni del primo ordine sono stati ottenuti da Souganidis
e da Rezakhanlou-Tarver sfruttando la formula di
Lax-Oleinik, ma molto poco è noto sulla corrispondente
equazione critica. La situazione è stata recentemente
chiarita per la dimensione 1 (Davini-Siconolfi) dove si è
provata l'esistenza di correttori eccetto possibilmente
all'interno della parte piatta dell'Hamiltoniana
effettiva,
dove comunque esistono correttori approssimati. Inoltre sono
state fornite formule di rappresentazione di tipo Lax. Si
intende proseguire questo studio per il caso
multidimensionale: si vuole provare l'esistenza di una
norma stabile per la metrica intrinseca a livello critico,
mettere in relazione le sue possibili degenerazioni con
l'esistenza/non esistenza di correttori, dare una nozione
adattata di insieme di Aubry, avere risultati di esistenza
per correttori approssimati. Una forma di ergodicità per
equazioni del secondo ordine è l'ipotesi di esistenza di
un'unica misura finita invariante per il processo
stocastico associato alle variabili veloci. Sotto questa
ipotesi si puo' infatti mostrare l'esistenza di correttori
approssimati. Come applicazione dei problemi del primo
ordine indichiamo l'omogeneizzazione delle tassellazioni di
Penrose nel piano, in connessione con lo studio dei
quasi-cristalli. La tematica del secondo ordine si applica
invece a modelli finanziari (tipo Merton) con volatilità
stocastica oscillante.
3) Omogeneizzazione multiscala ed approssimazione numerica.
L'omogeneizzazione multiscala tratta l’asintotica di
equazioni con una pluralità di variabili oscillanti con
velocità di ordine diverso. Di solito si fa uso di tecniche
iterative. Il caso periodico per equazioni di H-J è stato
già trattato (Marchi). Si intende affrontare il contesto
quasi periodico e stazionario ergodico. Non e' una semplice
generalizzazione poiché l’assenza di correttori richiede
profonde modifiche delle tecniche. Si intende parallelamente
determinare delle stime di convergenza delle soluzioni
approssimate a quella del problema omogeneizzato e
affrontare uno studio numerico, almeno nel caso periodico,
con lo sviluppo di algoritmi di calcolo dell'Hamiltoniana
effettiva.

Sponsors:

INdAM
Funds: assigned and managed by an external body

Project participants

Antonio Marigonda
Assistant Professor

Collaboratori esterni

Andrea Davini
Sapienza Università di Roma Coordinatore nazionale
Research areas involved in the project
Matematica - applicazioni e modelli
Calculus of variations and optimal control; optimization - -
Publications
Title Authors Year
A metric approach to plasticity via Hamilton-Jacobi equation Auricchio Ferdinando; Bonetti Elena; Antonio Marigonda 2010

Activities

Research facilities