Calcolo delle Variazioni (PRIN 2002 ESTERNO)

Starting date
December 16, 2002
Duration (months)
24
Departments
Computer Science
Managers or local contacts
Orlandi Giandomenico
URL
http://cercauniversita.cineca.it/php5/prin/cerca.php?codice=2002018977
Keyword
calcolo delle variazioni, teoria geometrica della misura, strutture riemanniane e subriemanniane

Il finanziamento del progetto è gestito dall'Unita' Locale dell'Università degli Studi di Trento e fa capo al Prof. Raul Serapioni. Il Responsabile Nazionale e' il Prof. Luigi Ambrosio (Scuola Normale Superiore di Pisa) Il problema centrale nel calcolo delle variazioni consiste nel risolvere le questioni fondamentali dell'esistenza e della regolarita' delle soluzioni di problemi di minimo. In passato, a partire dai lavori classici di Tonelli, Morrey e De Giorgi, tale studio e' stato rivolto principalmente verso gli integrali multipli regolari. Questa problematica, al centro dell'interesse della comunita' matematica internazionale per molti decenni, ha stimolato un'intensa attivita' di ricerca in Italia, che ha coinvolto attivamente diversi membri del gruppo. Particolarmente rilevante e' stato anche lo studio di problemi geometrici del tipo delle superfici minime, che hanno portato allo sviluppo di importanti capitoli della teoria geometrica della misura. Lo studio di queste classi di problemi ha evidenziato la presenza di singolarita' nelle soluzioni, inducendo un progressivo rovesciamento di prospettiva che ha portato a considerare tali singolarita' come l'oggetto principale di indagine, in particolare per classi di problemi aventi una interpretazione geometrica e/o fisica rilevante. Piu' recentemente e' iniziato lo studio di problemi variazionali non regolari, vale a dire caratterizzati da concentrazioni di energia su insiemi di dimensione bassa. L'obiettivo principale del gruppo e' lo studio di tali problemi, al fine di ottenere risultati originali e di formare su questi nuovi temi dei giovani ricercatori. In particolare si studieranno i problemi con discontinuita' libere, caratterizzati dalla minimizzazione di un'energia di volume accoppiata a termini di superficie (come i funzionali, del tipo di Mumford--Shah, che appaiono nell'approccio variazionale alla segmentazione di immagini o anche nella meccanica della frattura). Inoltre si studieranno problemi variazionali per funzioni vettoriali, motivati anche dalla teoria dell'elasticita', dai problemi di ottimizzazione di forma, dalla teoria del trasporto ottimo di massa e dalla teoria matematica delle microstrutture. Problemi vettoriali con vincoli geometrici (come nella minimizzazione delle energie per mappe tra varieta' e per sezioni di fibrati) presentano interessanti fenomeni di concentrazione e di singolarita' che saranno oggetto di ricerca da parte del gruppo. Rientrano in questo studio i minimi delle energie di tipo Ginzburg-Landau. Nello studio di questi problemi hanno particolare rilevanza metodi di teoria geometrica della misura; il gruppo intende perseguire anche alcune ricerche volte all'estensione della teoria geometrica della misura ad ambienti metrici e privi di struttura differenziale. Altrettanto rilevanti per lo studio delle proprieta' qualitative delle soluzioni sono i metodi di convergenza variazionale (Gamma-convergenza in particolare), che si riflettono anche in risultati di approssimazione e regolarizzazione. Utilizzando questi strumenti, il gruppo intende sviluppare tecniche unificanti ed ottenere risultati originali che portino all'individuazione ed alla comprensione degli aspetti piu' rilevanti delle problematiche suddette. Parallelamente il gruppo dedichera' molta attenzione alla formazione scientifica dei giovani ricercatori, con particolare riferimento all'avviamento alla ricerca. La collaborazione scientifica tra le varie unita` locali e` sempre stata molto intensa. Questo e` testimoniato anche dai numerosi lavori in collaborazione trasversali tra le vaie sedi.

Sponsors:

Ministero dell'Istruzione dell'Università e della Ricerca
Funds: assigned and managed by an external body

Project participants

Sisto Baldo
Associate Professor

Collaboratori esterni

Luigi Ambrosio
Scuola Normale Superiore Pisa ordinario
Raul Paolo Serapioni
Universita' di Trento Matematica ordinario
Research areas involved in the project
Matematica - applicazioni e modelli
Calculus of variations and optimal control; optimization - -

Activities

Research facilities