Metodi variazionali nella teoria del trasporto ottimo di massa e nella teoria geometrica della misura (PRIN 2006 ESTERNO)

Starting date
February 9, 2007
Duration (months)
24
Departments
Computer Science
Managers or local contacts
Orlandi Giandomenico
URL
http://cercauniversita.cineca.it/php5/prin/cerca.php?codice=2006015812
Keyword
calcolo delle variazioni, teoria geometrica della misura, strutture riemanniane e subriemanniane

Il finanziamento del progetto è gestito dall'Unita' Locale dell'Università degli Studi di Trento e fa capo al Prof. Francesco Serra Cassano. Il Responsabile Nazionale e' il Prof. Luigi Ambrosio (Scuola Normale Superiore di Pisa) Nota: i riferimenti bibliografici sono quelli del modello A (a) Teoria del trasporto ottimo di massa e applicazioni. [FLUSSI GRADIENTE: Pisa SNS, Pavia] La teoria dei gradient flow per funzionali convessi e' ormai bene assodata, sia in dimensione finita che infinita, grazie ai risultati contenuti in [23]. In connessione a questo, ci si propone di confrontare nell'ambito infinito dimensionale i risultati ottenuti mediante la teoria di Wasserstein con quelli ottenuti con gli approcci classici della teoria dei semigruppi e delle forme di Dirichlet. In dimensione finita e per funzionali non convessi, invece, mentre sono stati ottenuti promettenti risultati per modelli particolari (ad esempio il funzionale di Fisher, o alcune classi di funzionali energia interna), manca ancora una teoria sistematica. Ci si propone in particolare di analizzare, nell'ambito di una collaborazione in corso con S.Serfaty del Courant Institute, il flusso gradiente, rispetto alla metrica di Wasserstein, di un funzionale dipendente dalla norma H^{-1} della misura. Tale funzionale, convesso nel senso tradizionale ma non in quello intrinseco, compare nella teoria di Ginzburg-Landau della superconduttivita'. [FLUSSI HAMILTONIANI: Pisa SNS] Parallelamente alla teoria dei flussi gradiente, ci si propone di continuare la teoria sviluppata in [15], volta allo studio di problemi di evoluzione di tipo Hamiltoniano nello spazio delle misure. Molti problemi classici (l'equazione di Eulero incomprimibile in 2 dimensioni, l'equazione semi-geostrofica, equazioni di tipo cinetico) rientrano in questo quadro, che presenta alcuni vantaggi: e' ad esempio possibile definire in modo naturale soluzioni anche concentrate, e mostrare in ogni caso la conservazione nel tempo dell'Hamiltoniana. Al momento, non e' invece chiaro se questa interpretazione possa avere un impatto sul difficile problema dell'unicita' delle soluzioni. Sempre in connessione a problemi di tipo Hamiltoniano, ci si propone di approfondire ulteriormente l'approccio variazionale per l'equazione di Eulero incomprimibile sviluppato da Brenier in una serie di fondamentali lavori [5]. Ci si propone di collegare i due modelli (puramente Lagrangiano il primo, misto Euleriano-Lagrangiano il secondo [5]) studiati da Brenier, e di studiare le proprieta' di minimalita' delle singole traiettorie. [PROBLEMI DI IRRIGAZIONE E PIANIFICAZIONE DI RETI: Pisa SNS, Pisa Univ.] La teoria del trasporto ottimo di massa si e' anche dimostrata lo strumento ideale per affrontare diversi problemi di ottimizzazione che intervengono ad esempio in vari modelli di pianificazione urbana. In particolare, si puo' associare ad ogni rete di trasporto, schematizzata con un insieme connesso unidimensionale, una distanza che, inserita nel funzionale costo di Monge-Kantorovich, produce una maniera di misurare l'efficienza della rete di trasporto stessa. Diventa allora naturale cercare la rete che ha la massima efficienza e studiarne le proprieta' geometriche qualitative. Il gruppo ha gia' ottenuto diversi risultati sull'argomento e intende continuare a sviluppare questa ricerca che sembra molto promettente. In particolare si cerchera' di rimuovere il vincolo di connessione e di esaminare le situazioni che continuano a garantire l'esistenza di una rete di trasporto ottima. Parallelamente si cercheranno di studiare le proprieta' di regolarita' delle strutture ottime cosi' ottenute. (b) Equazioni di trasporto e di continuita' con campi poco regolari [PISA SNS, PISA UNIV.] Una prospettiva molto interessante e' l'estensione della teoria di DiPerna-Lions ad ambiti di tipo non Euclideo, o infinito dimensionale. Nel caso non Euclideo, mentre l'estensione a varieta' regolari non presenta problemi sostanziali, l'estensione a geometrie di tipo Carnot--Caratheodory sembra parecchio piu' impegnativa, anche se e' naturale congetturare che per campi orizzontali con una regolarita' di tipo Sobolev intrinseca (nel senso di Folland-Stein) questa estensione sia possibile. Nel caso infinito-dimensionale i risultati noti richiedono una integrabilita' di tipo esponenziale delle derivate campo vettoriale, e sembra quindi esservi un gap significativo tra la teoria finito-dimensionale, che si spinge fino a campi BV, e quella infinito-dimensionale. Inoltre, ci si propone di estendere i risultati di regolarita' e di stabilita' del flusso prima menzionati anche al caso critico dei campi W^{1,1} o BV. (c) Disuguaglianze di Sobolev e isoperimetriche [NAPOLI, PAVIA] Un primo problema interessante e' quello delle disuguaglianze di Sobolev quantitative. Supponiamo che p sia un intero strettamente compreso tra 1 e n, la dimensione dello spazio ambiente. Se u e' una funzione di classe W^{1,p} allora u ha sommabilita' p^*=np/(n-p) e inoltre la sua norma, in questo spazio, si stima con la norma L^p del gradiente. Talenti, in un fondamentale lavoro del 1976, ha individuato una classe di funzioni a simmetria radiale che sono tutti e soli i casi di uguaglianza. E' naturale cercare allora una versione piu' fine della disuguaglianza di Sobolev, analoga a quella gia' trovata da Fusco, Maggi e Pratelli [44] per la disuguaglianza isoperimetrica, che dia una stima quantitativa di vicinanza ad una delle funzioni individuate da Talenti per mappe u il cui rapporto delle norme e' prossimo a quello ottimale. L'uso combinato della disuguaglianza isoperimetrica quantitativa e di opportune tecniche di trasporto di massa sembra poter dare buone speranze di dimostrare un tale risultato. [PAVIA] Partendo dalla formulazione dinamica di Brenier, si intende studiare una classe di metriche che appiono come naturale interpolazione tra la distanza di Wasserstein e le metriche degli spazi di Sobolev con indice di regolarità negativo. Grazie a tali distanze si vuole dare una dimostrazione geometrica delle disuguaglianze di Beckner (anch'esse intermedie tra la disuguaglianza di Sobolev logaritmica e quelle di Poincaré) e studiare le equazioni di diffusione ad esse associate. [PISA SNS, TRENTO] Nel contesto dei gruppi di Carnot, invece, dopo un risultato astratto di esistenza di forme ottimali, dovuto a Leonardi e Rigot [18], ci si propone di calcolare forme ottimali, per la disuguaglianza isoperimetrica, in alcuni constesti specifici. (d) Teoria Geometrica della misura e correnti cartesiane [PISA SNS, TRENTO] Ci si propone di estendere la teoria dei perimetri a gruppi di Carnot piu' generali (la rettificabilita' e' al momento nota solo in gruppi di passo 2). Intendiamo inoltre definire e caratterizzare i sottoinsiemi rettificabili in senso intrinseco in gruppi di Carnot (in collaborazione con B. Kirchheim e P.Mattila) e approfindire lo studio delle correnti, e in particolare di quelle rettificabili, nei gruppi di Heisenberg. Inoltre, la nozione di grafico Lipschitz in senso intrinseco nel gruppo di Heisenberg sembra centrale per poter sviluppare in maniera efficace una teoria delle rettificabilita'. Intendiamo approfondire lo studio della relazione tra teoria dei semigruppi e teoria dei perimetri. Tale approccio e' motivato dalla definizione originaria data da De Giorgi. In tal senso, di particolare interesse sembra essere il comportamento per tempi piccoli del semigruppo del calore in relazione con il problema isoperimetrico. L'applicazione di tali risultati e' orientata allo sviluppo della teoria geometrica della misura in ambienti non Euclidei, quali gli spazi di dimensione infinita studiati da Fukushima. Nel recente lavoro di Ambrosio-Serra Cassano e Vittone e' stato introdotto un metodo generale per la calibrazione delle superfici minime, ed e' stata evidenziata una importante connessione tra la variazione prima del funzionale area, scritto in opportune coordinate, e operatori di tipo Burgers. Ci si propone di studiare il problema della regolarita' delle superfici minime attraverso questo collegamento.

Sponsors:

Ministero dell'Istruzione dell'Università e della Ricerca
Funds: assigned and managed by an external body

Project participants

Sisto Baldo
Associate Professor

Collaboratori esterni

Luigi Ambrosio
Scuola Normale Superiore Pisa ordinario
Francesco Serra Cassano
Universita' di Trento Matematica ordinario
Research areas involved in the project
Matematica - applicazioni e modelli
Calculus of variations and optimal control; optimization - -

Activities

Research facilities