Programma dettagliato di Sistemi Stocastici ( I modulo teoria 3 CFU ) aa 2013-2014
Catene di Markov in tempo discreto a stati finiti:
- definizioni, matrice di transizione, esempi - probabilità di transizione in m passi, equazione di Chapman-Kolmogorov, densità congiunte finite - enunciato th. di Kolmogorov, spazio canonico. - classificazione degli stati,irriducibilità, probabilità invariati, th. di Markov-Kakutani,esempi, catene regolari (criterio), probabilità limite e th. di Markov, catene reversibili, algoritmo di Metropolis e Simulated annealing. - simulazione di v.a. discrete, algoritmo ricorsivo per generare una CdM omogenea a stati finiti. Catene di Markov in tempo discreto a stati numerabili - misure invarianti, teorema di esistenza, positiva ricorrenza - definizioni equivalenti di transienza e ricorrenza, periodo, solidarietà, decomposizione canonica. - catene ergodiche e teorema limite. - teorema delle medie temporali.
Elementi della teoria delle martingale in tempo discreto :
- filtrazione naturale associate ad un CdM om in tempo discreto, tempi di arresto. - attesa condizionata come v.a., attesa condizionata ad un sigma algebra generata da un v.a. reale o vettoriale e proprietà- Prprietà di Markov forte - definizione di martingala in tempo discreto, proprietà, Optional Stopping Theorem, esempio della rovina del giocatore.
Esame : tutte le definizioni e gli enunciati, nonché gli esempi. Quattro dimostrazioni a scelta dello studente.